1. Datos del problema:
Se busca expresar $\theta = \arccos x$ utilizando la función $\arctan$. Recordemos que el rango de $\arccos x$ es $[0, \pi]$ y el de $\arctan u$ es $(-\pi/2, \pi/2)$.

2. Propiedades usadas:

• Relación fundamental: $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.


• Definición de tangente: $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$.


• Si $\theta = \arccos x$, entonces $\cos \theta = x$ y $\sin \theta = \sqrt{1-x^2}$ (ya que $\sin \theta \ge 0$ para $\theta \in [0, \pi]$).

3. Desarrollo paso a paso:
Sea $\theta = \arccos x$. Entonces $\cos \theta = x$.
Para expresar $\theta$ como arcotangente, calculamos:
$$ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} $$
Aplicando la función inversa:
$$ \theta = \text{v.p. } \arctan \left( \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \right) + k\pi $$

Caso 1: $0 < x \le 1$
Si $x$ es positivo, $\theta = \arccos x$ se encuentra en el primer cuadrante $(0 \le \theta < \pi/2)$. En este intervalo, la función $\arctan$ devuelve valores en el mismo rango. Por lo tanto:
$$ \arccos x = \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} $$

Caso 2: $-1 \le x < 0$
Si $x$ es negativo, $\theta = \arccos x$ se encuentra en el segundo cuadrante $(\pi/2 < \theta \le \pi)$. Sin embargo, el argumento de la arcotangente $\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$ será negativo, por lo que $\arctan(\dots)$ devolverá un valor en el cuarto cuadrante $(-\pi/2, 0)$. Para ajustar este valor al segundo cuadrante, debemos sumar $\pi$:
$$ \arccos x = \pi + \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} $$

4. Resultado:
$$ \boxed{ \arccos x = \begin{cases} \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} & 0 < x \le 1 \\ \pi + \arctan \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} & -1 \le x < 0 \end{cases} $$