1. Datos y Propiedades:
Sea $\theta = \arctan x \implies \tan \theta = x$, con $\theta \in (-\pi/2, \pi/2)$.
Sabemos que:
$$ \cos \theta = \frac{1}{\sec \theta} = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} $$

2. Desarrollo por signo de x:

• Para $x > 0$: El ángulo $\theta$ está en $(0, \pi/2)$. En este intervalo, el arcoseno de la función coseno es directo:
  $$ \theta = \arccos \left( \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \right) $$
• Para $x \le 0$: El ángulo $\theta$ está en $(-\pi/2, 0]$. Dado que $\arccos$ devuelve valores en $[0, \pi]$, y $\cos(-\theta) = \cos \theta$, tenemos:
  $$ \arccos \left( \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \right) = |\theta| = -\theta \quad \text{(ya que } \theta \le 0 \text{)} $$
  Por lo tanto: $\theta = -\arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.

3. Resultado:
$$ \boxed{\arctan x = \text{sgn}(x) \arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}} $$