1. Datos del problema:
Sea $\beta = \arccos x$, lo que implica $\cos \beta = x$ con $\beta \in [0, \pi]$.

2. Relación con el seno:
Sabemos que $\sin \beta = \sqrt{1 - \cos^2 \beta} = \sqrt{1 - x^2}$. El seno es positivo porque $\beta \in [0, \pi]$.

3. Análisis por intervalos:

• Si $0 \le x \le 1$: $\beta$ está en $[0, \pi/2]$. En este rango, $\arcsin(\sin \beta) = \beta$.
  $$ \beta = \arcsin \sqrt{1-x^2} $$
• Si $-1 \le x \le 0$: $\beta$ está en $[\pi/2, \pi]$. El rango de $\arcsin$ es $[-\pi/2, \pi/2]$. Usamos la identidad $\sin(\pi - \beta) = \sin \beta$. Como $(\pi - \beta) \in [0, \pi/2]$, entonces:
  $$ \arcsin \sqrt{1-x^2} = \pi - \beta \implies \beta = \pi - \arcsin \sqrt{1-x^2} $$

4. Conclusión:
$$ \boxed{\arccos x = \text{identidad comprobada}} $$