1. Datos y Definiciones:
Sea $\theta = \arctan x$. Por definición de la función arcotangente, esto implica que:
$$ \tan \theta = x, \quad \text{donde } \theta \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) $$

2. Propiedades a usar:
Utilizaremos la identidad pitagórica que relaciona la secante y la tangente:
$$ \sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta $$
Y la relación fundamental:
$$ \sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sec \theta} $$

3. Desarrollo paso a paso:
Partiendo de $\tan \theta = x$, construimos la expresión para $\sin \theta$:
$$ \sec \theta = \sqrt{1 + \tan^2 \theta} = \sqrt{1 + x^2} $$
Dado que $\theta \in (-\pi/2, \pi/2)$, la secante siempre es positiva en este intervalo, por lo que el signo de la raíz es correcto. Ahora, expresamos el seno en términos de $x$:
$$ \sin \theta = \frac{\tan \theta}{\sec \theta} = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} $$

Para despejar $\theta$, aplicamos la función arcoseno en ambos lados:
$$ \theta = \arcsin \left( \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \right) $$

4. Conclusión:
Como originalmente definimos $\theta = \arctan x$, igualamos ambas expresiones:
$$ \boxed{\arctan x = \arcsin \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}} $$