1. Definición de ángulos:
Sean $\alpha = \arcsin \frac{4}{5}$, $\beta = \arcsin \frac{5}{13}$ y $\gamma = \arcsin \frac{16}{65}$.
Calculamos los cosenos respectivos (primer cuadrante):

• $\cos \alpha = \sqrt{1 - (4/5)^2} = 3/5$
• $\cos \beta = \sqrt{1 - (5/13)^2} = 12/13$

2. Suma de los dos primeros ángulos:
Sea $S = \alpha + \beta$. Aplicamos la función seno:
$$ \begin{aligned} \sin(\alpha + \beta) &= \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ &= \left( \frac{4}{5} \right)\left( \frac{12}{13} \right) + \left( \frac{3}{5} \right)\left( \frac{5}{13} \right) \\ &= \frac{48 + 15}{65} = \frac{63}{65} \end{aligned} $$
Como $\sin(\alpha + \beta) = \frac{63}{65}$, entonces $\cos(\alpha + \beta) = \sqrt{1 - (\frac{63}{65})^2} = \frac{16}{65}$.

3. Verificación de la suma total:
La expresión original es $S + \gamma = \frac{\pi}{2}$. Esto equivale a demostrar que $\sin(S + \gamma) = 1$:
$$ \begin{aligned} \sin(S + \gamma) &= \sin S \cos \gamma + \cos S \sin \gamma \\ &= \left( \frac{63}{65} \right) \left( \sqrt{1 - (16/65)^2} \right) + \left( \frac{16}{65} \right) \left( \frac{16}{65} \right) \end{aligned} $$
Notamos que $\cos \gamma = \sqrt{1 - (16/65)^2} = 63/65$.
$$ \sin(S + \gamma) = \left( \frac{63}{65} \right)^2 + \left( \frac{16}{65} \right)^2 = \frac{3969 + 256}{4225} = \frac{4225}{4225} = 1 $$
Como el seno de la suma es 1, la suma de los ángulos es $\frac{\pi}{2}$.

$$ \boxed{\frac{\pi}{2}} $$