1. Fórmula de suma de arcotangentes:
Usamos la fórmula: $\arctan a + \arctan b = \arctan \frac{a+b}{1-ab}$.

2. Primera suma:
Suma de los dos primeros términos:
$$ \begin{aligned} \arctan \frac{1}{3} + \arctan \frac{1}{4} &= \arctan \left( \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4}} \right) \\ &= \arctan \left( \frac{\frac{7}{12}}{\frac{11}{12}} \right) = \arctan \frac{7}{11} \end{aligned} $$

3. Segunda suma:
Ahora sumamos el resultado con el tercer término:
$$ \begin{aligned} \arctan \frac{7}{11} + \arctan \frac{2}{9} &= \arctan \left( \frac{\frac{7}{11} + \frac{2}{9}}{1 - \frac{7}{11}\cdot\frac{2}{9}} \right) \\ &= \arctan \left( \frac{\frac{63 + 22}{99}}{\frac{99 - 14}{99}} \right) \\ &= \arctan \left( \frac{85}{85} \right) = \arctan 1 = \frac{\pi}{4} \end{aligned} $$

4. Conclusión:
La suma total es $\frac{\pi}{4}$.
$$ \boxed{\frac{\pi}{4}} $$