1. Datos y constantes:
Sabemos que $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.
Sea $\alpha = \arctan \frac{\sqrt{2}}{2}$, por lo que $\tan \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

2. Transformación de la igualdad:
La expresión a verificar es: $\alpha + \frac{\pi}{4} = \arctan (3 + 2\sqrt{2})$.
Aplicamos la función tangente a la suma:
$$ \tan \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\tan \alpha + \tan \frac{\pi}{4}}{1 - \tan \alpha \tan \frac{\pi}{4}} $$

3. Sustitución:
$$ \begin{aligned} \tan \left( \alpha + \frac{\pi}{4} \right) &= \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} + 1}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} \\ &= \frac{\frac{\sqrt{2} + 2}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} \end{aligned} $$

4. Racionalización:
$$ \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{4 + 4\sqrt{2} + 2}{4 - 2} = \frac{6 + 4\sqrt{2}}{2} = 3 + 2\sqrt{2} $$

5. Conclusión:
Puesto que $\tan(\alpha + \frac{\pi}{4}) = 3 + 2\sqrt{2}$, se cumple la identidad.

$$ \boxed{\arctan \frac{\sqrt{2}}{2} + \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \arctan (3 + 2\sqrt{2})} $$