1. Datos del problema:
Diferencia entre un arcoseno y un arcocoseno igualada a un arcotangente.

2. Fórmulas o propiedades usadas:
Construcción de triángulos rectángulos para cambiar de función trigonométrica:

• Si $\sin \alpha = \frac{4}{5}$, entonces $\tan \alpha = \frac{4}{3}$.


• Si $\cos \beta = \frac{2}{\sqrt{5}}$, entonces $\tan \beta = \frac{1}{2}$ (usando $a^2 + b^2 = c^2$).

3. Desarrollo paso a paso:
Convertimos todo a tangentes para facilitar la resta.
Sea $\alpha = \arcsin(4/5)$ y $\beta = \arccos(2/\sqrt{5})$.
Queremos ver si $\tan(\alpha - \beta) = \tan(\arctan(1/2)) = 1/2$.
$$ \begin{aligned} \tan(\alpha - \beta) &= \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta} \\ \tan(\alpha - \beta) &= \frac{\frac{4}{3} - \frac{1}{2}}{1 + \left( \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \right)} \\ \tan(\alpha - \beta) &= \frac{\frac{8-3}{6}}{1 + \frac{4}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{10}{6}} \\ \tan(\alpha - \beta) &= \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \end{aligned} $$

4. Conclusión:
Como las tangentes son iguales y los ángulos están en el rango principal, la igualdad es correcta.
$$ \boxed{\arcsin \frac{4}{5} - \arccos \frac{2}{\sqrt{5}} = \arctan \frac{1}{2}} $$