1. Datos del problema:
Suma de un arcocotangente y el doble de otro.

2. Fórmulas o propiedades usadas:
$\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ y la suma de tangentes.

3. Desarrollo paso a paso:
Sea $\alpha = \operatorname{arccot} \frac{1}{7} \Rightarrow \tan \alpha = 7$.
Sea $\beta = \operatorname{arccot} \frac{1}{3} \Rightarrow \tan \beta = 3$.
Primero calculamos $\tan(2\beta)$:
$$ \tan(2\beta) = \frac{2(3)}{1 - 3^2} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4} $$
Ahora sumamos $\alpha + 2\beta$:
$$ \begin{aligned} \tan(\alpha + 2\beta) &= \frac{7 + (-3/4)}{1 - (7)(-3/4)} \\ \tan(\alpha + 2\beta) &= \frac{\frac{28-3}{4}}{1 + \frac{21}{4}} = \frac{\frac{25}{4}}{\frac{25}{4}} = 1 \end{aligned} $$
Debido a que $\tan \alpha = 7$ (ángulo $> \pi/4$) y $\tan \beta = 3$ (ángulo $> \pi/4$), el ángulo total excede $\pi$. Para un resultado de $\tan = 1$ en este rango, el ángulo es $5\pi/4$.

4. Conclusión:
$$ \boxed{\operatorname{arccot} \frac{1}{7} + 2 \operatorname{arccot} \frac{1}{3} = \frac{5\pi}{4}} $$