1. Datos y sustitución:
Sea $\alpha = \arccos x$, lo que significa que $\cos \alpha = x$, donde $x \in [-1, 1]$.
Debemos calcular $\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

2. Fórmulas a utilizar:
Identidad del ángulo mitad para el coseno:
$$ \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} $$
Dado que el rango de $\arccos x$ es $[0, \pi]$, entonces $\frac{\alpha}{2} \in [0, \pi/2]$, lo que implica que el coseno es positivo.

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos $\cos \alpha = x$:
$$ \cos \left( \frac{1}{2} \arccos x \right) = \sqrt{\frac{1 + x}{2}} $$

4. Conclusión:
El resultado se expresa bajo el radical considerando el dominio de la función inversa.
$$ \boxed{\sqrt{\frac{1 + x}{2}}} $$