1. Datos y sustitución:
Sea $\theta = \text{arccot } x$, entonces $\cot \theta = x$.
Se busca simplificar $\cos(2\theta)$.

2. Fórmulas a utilizar:
Relación del coseno doble con la cotangente:
$$ \cos(2\theta) = \frac{\cot^2 \theta - 1}{\cot^2 \theta + 1} $$

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos directamente el valor de $\cot \theta = x$ en la identidad:
$$ \cos(2 \text{arccot } x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}} $$