1. Datos y sustitución:
Sea $\theta = \text{arccot } x$, lo que implica que $\cot \theta = x$.
Queremos encontrar el valor de $\sin(2\theta)$.

2. Fórmulas a utilizar:
Usaremos la identidad del seno del ángulo doble:
$$ \sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta $$
Y las relaciones de las funciones trigonométricas en términos de la cotangente:
$$ \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}, \quad \cos \theta = \frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}} $$

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituyendo $\cot \theta = x$:
$$ \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}, \quad \cos \theta = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} $$
Ahora, aplicamos la fórmula del ángulo doble:
$$ \sin(2\theta) = 2 \left( \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \right) \left( \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \right) $$
Multiplicando los términos:
$$ \sin(2\theta) = \frac{2x}{1 + x^2} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{2x}{1 + x^2}} $$