1. Definiciones:
Sea \(\alpha = \arcsin x\) y \(\beta = \arcsin y\).
Por lo tanto: \(\sin \alpha = x\) y \(\sin \beta = y\).
Para hallar la tangente, necesitamos los cosenos:
$$ \cos \alpha = \sqrt{1 - x^2}, \quad \cos \beta = \sqrt{1 - y^2} $$
Entonces:
$$ \tan \alpha = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}, \quad \tan \beta = \frac{y}{\sqrt{1 - y^2}} $$

2. Desarrollo:
Aplicamos la fórmula de la tangente de la suma:
$$ \begin{aligned} \tan(\alpha + \beta) &= \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} \\ &= \frac{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{y}{\sqrt{1-y^2}}}{1 - \frac{xy}{\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}}} \end{aligned} $$
Multiplicamos numerador y denominador por \(\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\):
$$ \frac{x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)} - xy} $$

3. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{x\sqrt{1-y^2} + y\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)} - xy}} $$