1. Datos y simplificación del argumento:
Sea $x = \frac{\sqrt{5}}{3}$. Definimos los ángulos:
$\alpha = \arcsin x$ y $\beta = \arccos x$.
Sabemos por propiedad de ángulos complementarios que:
$$ \alpha + \beta = \frac{\pi}{2} \implies \beta = \frac{\pi}{2} - \alpha $$

La expresión dentro del paréntesis es $(\alpha - \beta)$. Sustituyendo $\beta$:
$$ \alpha - \beta = \alpha - \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = 2\alpha - \frac{\pi}{2} $$

2. Estructura de la función externa:
La expresión completa es:
$$ \sin \left( 2 \left( 2\alpha - \frac{\pi}{2} \right) \right) = \sin (4\alpha - \pi) $$

3. Reducción al primer cuadrante:
Usando la identidad $\sin(\theta - \pi) = -\sin \theta$:
$$ \sin (4\alpha - \pi) = -\sin(4\alpha) $$

4. Cálculo de $\sin(4\alpha)$ en términos de $x$:
Sabemos que $\sin \alpha = x = \frac{\sqrt{5}}{3}$. Entonces $\cos \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{5}{9}} = \frac{2}{3}$.
$$ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right) \left( \frac{2}{3} \right) = \frac{4\sqrt{5}}{9} $$
$$ \cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2 \alpha = 1 - 2\left(\frac{5}{9}\right) = 1 - \frac{10}{9} = -\frac{1}{9} $$
Ahora para $\sin(4\alpha)$:
$$ \sin(4\alpha) = 2 \sin(2\alpha) \cos(2\alpha) = 2 \left( \frac{4\sqrt{5}}{9} \right) \left( -\frac{1}{9} \right) = -\frac{8\sqrt{5}}{81} $$

5. Resultado final:
Retomando $-\sin(4\alpha)$:
$$ - \left( -\frac{8\sqrt{5}}{81} \right) = \frac{8\sqrt{5}}{81} $$

$$ \boxed{\frac{8\sqrt{5}}{81}} $$