Para resolver este problema, utilizaremos identidades de ángulos compuestos y propiedades de las funciones trigonométricas inversas.

1. Definición de variables:
Sea $\alpha = \arctan \frac{1}{4}$ y $\beta = \arccos \frac{3}{5}$. La expresión original se convierte en:
$$ \cos(2\alpha + \beta) $$

2. Obtención de razones trigonométricas:
De las definiciones dadas:

• Si $\tan \alpha = \frac{1}{4}$, entonces por Pitágoras la hipotenusa es $\sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17}$. Por lo tanto:
  $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{17}}$ y $\cos \alpha = \frac{4}{\sqrt{17}}$.
• Si $\cos \beta = \frac{3}{5}$, en un triángulo rectángulo de hipotenusa 5 y cateto adyacente 3, el cateto opuesto es 4. Por lo tanto:
  $\sin \beta = \frac{4}{5}$.

3. Cálculo de las funciones del ángulo doble ($2\alpha$):
Utilizamos las identidades de ángulo doble:
$$ \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \left( \frac{1}{\sqrt{17}} \right) \left( \frac{4}{\sqrt{17}} \right) = \frac{8}{17} $$
$$ \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \left( \frac{4}{\sqrt{17}} \right)^2 - \left( \frac{1}{\sqrt{17}} \right)^2 = \frac{16 - 1}{17} = \frac{15}{17} $$

4. Aplicación de la identidad del coseno de una suma:
La fórmula es $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$. Aplicándola a $2\alpha + \beta$:
$$ \cos(2\alpha + \beta) = \cos(2\alpha) \cos \beta - \sin(2\alpha) \sin \beta $$
Sustituyendo los valores obtenidos:
$$ \cos(2\alpha + \beta) = \left( \frac{15}{17} \right) \left( \frac{3}{5} \right) - \left( \frac{8}{17} \right) \left( \frac{4}{5} \right) $$
$$ \cos(2\alpha + \beta) = \frac{45}{85} - \frac{32}{85} = \frac{13}{85} $$

$$ \boxed{\frac{13}{85}} $$