1. Datos del problema:
Sea $\alpha = \arccos \left( -\frac{4}{7} \right)$. Se busca $\cot(\alpha/2)$.

2. Propiedades usadas:

• $\cot \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{1 - \cos \alpha}}$ (el signo es positivo ya que si $\cos \alpha$ es negativo, $\alpha$ está en el segundo cuadrante y $\alpha/2$ en el primero).

3. Desarrollo paso a paso:

• Tenemos $\cos \alpha = -\frac{4}{7}$.


• $\cot \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 + (-4/7)}{1 - (-4/7)}} = \sqrt{\frac{3/7}{11/7}} = \sqrt{\frac{3}{11}}$.


• Racionalizando: $\frac{\sqrt{33}}{11}$.

$$ \boxed{\frac{\sqrt{33}}{11}} $$