1. Datos del problema:
Sea $\alpha = \arcsin \left( -\frac{2\sqrt{2}}{3} \right)$. Se busca hallar $\sin(\alpha/2)$.

2. Propiedades usadas:

• Identidad del ángulo mitad: $\sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}}$.


• Definición de arcoseno: si $\alpha = \arcsin(x)$, entonces $\sin \alpha = x$ y $\alpha \in [-\pi/2, \pi/2]$.

3. Desarrollo paso a paso:

• Dado $\sin \alpha = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$, hallamos $\cos \alpha$:

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$.
Como $\alpha \in [-\pi/2, 0]$ (pues el seno es negativo), el coseno es positivo: $\cos \alpha = \frac{1}{3}$.

• Determinamos el signo de $\sin(\alpha/2)$: si $-\pi/2 \leq \alpha \leq 0$, entonces $-\pi/4 \leq \alpha/2 \leq 0$. Por lo tanto, $\sin(\alpha/2)$ es negativo.


• Aplicamos la fórmula:

$\sin \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 - 1/3}{2}} = -\sqrt{\frac{2/3}{2}} = -\sqrt{\frac{1}{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

$$ \boxed{-\frac{\sqrt{3}}{3}} $$