1. Datos del problema:
Se tiene una suma de funciones trigonométricas inversas aplicadas a funciones trigonométricas cuyos ángulos exceden el rango principal.

2. Propiedades usadas:

• Periodicidad de la tangente y cotangente: $\tan(\theta) = \tan(\theta - n\pi)$.


• Propiedad de imparidad: $\tan(-\theta) = -\tan \theta$.


• Rango de $\arctan(x)$ es $(-\pi/2, \pi/2)$.


• Rango de $\text{arccot}(x)$ es $(0, \pi)$.

3. Desarrollo paso a paso:

• Primer término: $\arctan \left(-\tan \frac{13\pi}{8}\right)$.

Notamos que $\frac{13\pi}{8} = 2\pi - \frac{3\pi}{8}$. Por periodicidad:
$\tan \frac{13\pi}{8} = \tan \left(2\pi - \frac{3\pi}{8}\right) = \tan \left(-\frac{3\pi}{8}\right) = -\tan \frac{3\pi}{8}$.
Sustituyendo: $\arctan \left(-(-\tan \frac{3\pi}{8})\right) = \arctan \left(\tan \frac{3\pi}{8}\right)$.
Como $\frac{3\pi}{8}$ está en el intervalo $(-\pi/2, \pi/2)$, el resultado es $\frac{3\pi}{8}$.

• Segundo término: $\text{arccot} \left(\cot \left(-\frac{19\pi}{8}\right)\right)$.

Reducimos el ángulo: $-\frac{19\pi}{8} = -\frac{19\pi}{8} + 3\pi = \frac{24\pi - 19\pi}{8} = \frac{5\pi}{8}$.
Sustituyendo: $\text{arccot} \left(\cot \frac{5\pi}{8}\right)$.
Como $\frac{5\pi}{8}$ está en el intervalo $(0, \pi)$, el resultado es $\frac{5\pi}{8}$.

• Suma final:

$S = \frac{3\pi}{8} + \frac{5\pi}{8} = \frac{8\pi}{8} = \pi$.

$$ \boxed{\pi} $$