1. Datos del problema:
Se solicita evaluar la composición de una función trigonométrica inversa con su función original: $f^{-1}(f(x))$.

2. Propiedades usadas:
La propiedad fundamental de las funciones inversas establece que:
$$ \arccos(\cos \theta) = \theta, \quad \text{si } \theta \in [0, \pi] $$
El rango de la función $\arccos(x)$ está restringido al intervalo $[0, \pi]$ para que la función sea biyectiva.

3. Desarrollo paso a paso:

• Verificamos si el argumento $\theta = \frac{\pi}{4}$ se encuentra dentro del intervalo de definición $[0, \pi]$.
• Dado que $0 \leq \frac{\pi}{4} \leq \pi$, la propiedad de identidad se aplica directamente.
• Por lo tanto:
  $$ \arccos \left( \cos \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{4} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{\pi}{4}} $$