1. Evaluación de las funciones inversas:

• $\arctan \sqrt{3} = \frac{\pi}{3}$ (ya que $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$).
• $\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$ (ya que $\cos 60^\circ = 1/2$).

2. Sustitución y simplificación del argumento:
Sustituimos en el paréntesis:
$$ \begin{aligned} \theta &= 3 \left( \frac{\pi}{3} \right) + 2 \left( \frac{\pi}{3} \right) \\ \theta &= \pi + \frac{2\pi}{3} \\ \theta &= \frac{5\pi}{3} \end{aligned} $$

3. Cálculo de la función seno:
Evaluamos el seno en el ángulo obtenido:
$$ \sin \left( \frac{5\pi}{3} \right) = \sin \left( 300^\circ \right) $$
Por reducción al primer cuadrante ($360^\circ - 60^\circ$):
$$ \sin(300^\circ) = -\sin(60^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $$

$$ \boxed{-\frac{\sqrt{3}}{2}} $$