1. Evaluación de las funciones inversas:

• $\arctan \frac{\sqrt{3}}{3}$: Corresponde al ángulo cuya tangente es $1/\sqrt{3}$, es decir, $\frac{\pi}{6}$.
• $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$: Corresponde al ángulo cuyo seno es $\sqrt{3}/2$, es decir, $\frac{\pi}{3}$.

2. Sustitución en el argumento:
Sea $\alpha$ el argumento de la función tangente:
$$ \begin{aligned} \alpha &= 5 \left( \frac{\pi}{6} \right) - \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{3} \right) \\ \alpha &= \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{12} \end{aligned} $$
Homogenizamos las fracciones:
$$ \alpha = \frac{10\pi - \pi}{12} = \frac{9\pi}{12} = \frac{3\pi}{4} $$

3. Cálculo final:
Aplicamos la función tangente al resultado obtenido:
$$ \tan \left( \frac{3\pi}{4} \right) = -1 $$

$$ \boxed{-1} $$