1. Identificación de datos y propiedades:
Para resolver la expresión, evaluamos cada función trigonométrica inversa considerando sus rangos principales:

• $\arcsin(x) \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
• $\operatorname{arccot}(x) \in (0, \pi)$
• $\arccos(x) \in [0, \pi]$

2. Cálculo de valores individuales:

1. $\arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$: Sabemos que $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Por ser una función impar, $\arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -\frac{\pi}{3}$.
2. $\operatorname{arccot} (-1)$: Buscamos un ángulo $\theta \in (0, \pi)$ tal que $\cot(\theta) = -1$. Esto ocurre en el segundo cuadrante: $\theta = \frac{3\pi}{4}$.
3. $\arccos \frac{1}{\sqrt{2}}$: Es equivalente a $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}$. El ángulo cuyo coseno es $\frac{\sqrt{2}}{2}$ en el primer cuadrante es $\frac{\pi}{4}$.
4. $\arccos (-1)$: El ángulo cuyo coseno es $-1$ en el intervalo $[0, \pi]$ es $\pi$.

3. Sustitución y desarrollo:
Sustituimos los valores obtenidos en la expresión original:
$$ \begin{aligned} E &= 2 \left( -\frac{\pi}{3} \right) + \left( \frac{3\pi}{4} \right) + \left( \frac{\pi}{4} \right) + \frac{1}{2} (\pi) \\ E &= -\frac{2\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} \\ E &= -\frac{2\pi}{3} + \pi + \frac{\pi}{2} \end{aligned} $$
Calculamos el común denominador ($mcm = 6$):
$$ \begin{aligned} E &= \frac{-4\pi + 6\pi + 3\pi}{6} \\ E &= \frac{5\pi}{6} \end{aligned} $$

4. Conclusión:
El valor de la expresión simplificada es $5\pi/6$.

$$ \boxed{\frac{5\pi}{6}} $$