1. Datos del problema:
Se nos dan dos ecuaciones que relacionan los senos y cosenos de dos ángulos $\alpha$ y $\beta$ con las constantes $m$ y $n$.

2. Fórmulas y propiedades:

• Identidades de suma a producto:

$$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $$
$$ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $$

• Identidad del ángulo doble: $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta$


• Identidad fundamental: $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$

3. Desarrollo paso a paso:
Dividimos la segunda ecuación entre la primera para hallar una relación directa:
$$ \frac{n}{m} = \frac{2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)} \implies \frac{n}{m} = \tan\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) $$
Llamemos $\theta = \frac{\alpha+\beta}{2}$, entonces $\tan \theta = \frac{n}{m}$.
Queremos hallar $\sin(\alpha + \beta) = \sin(2\theta)$. Usando la fórmula del ángulo doble en términos de la tangente:
$$ \sin(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} $$
Sustituyendo $\tan \theta = \frac{n}{m}$:
$$ \begin{aligned} \sin(\alpha + \beta) &= \frac{2(n/m)}{1 + (n/m)^2} \\ &= \frac{2n/m}{(m^2 + n^2)/m^2} \\ &= \frac{2n}{m} \cdot \frac{m^2}{m^2 + n^2} \end{aligned} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\sin(\alpha + \beta) = \frac{2mn}{m^2 + n^2}} $$