Ii
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_262
Imagen adjunta
Enunciado
Paso 1:
Si $\sin (2\alpha + \beta) = 2 \sin \beta$ y $\beta \neq \pi k$, demuestre que $\tan (\alpha + \beta) = 3 \tan \alpha$.
Si $\sin (2\alpha + \beta) = 2 \sin \beta$ y $\beta \neq \pi k$, demuestre que $\tan (\alpha + \beta) = 3 \tan \alpha$.
Solución Paso a Paso
1. Desarrollo:
Usamos una técnica similar al ejercicio 1314, descomponiendo los ángulos:
$$ \sin [(\alpha + \beta) + \alpha] = 2 \sin [(\alpha + \beta) - \alpha] $$
Expandimos usando las fórmulas de suma y resta:
$$ \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha + \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha = 2 [ \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha - \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha ] $$
$$ \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha + \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha = 2 \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha - 2 \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha $$
Agrupamos términos de $(\alpha + \beta)$ en un lado y de $\alpha$ en el otro:
$$ \begin{aligned} \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha + 2 \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha &= 2 \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha - \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha \\ 3 \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha &= \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha \end{aligned} $$
Dividiendo entre $\cos(\alpha + \beta) \cos \alpha$:
$$ 3 \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} \implies 3 \tan \alpha = \tan(\alpha + \beta) $$
2. Resultado:
$$ \boxed{\tan (\alpha + \beta) = 3 \tan \alpha} $$
Usamos una técnica similar al ejercicio 1314, descomponiendo los ángulos:
$$ \sin [(\alpha + \beta) + \alpha] = 2 \sin [(\alpha + \beta) - \alpha] $$
Expandimos usando las fórmulas de suma y resta:
$$ \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha + \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha = 2 [ \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha - \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha ] $$
$$ \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha + \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha = 2 \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha - 2 \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha $$
Agrupamos términos de $(\alpha + \beta)$ en un lado y de $\alpha$ en el otro:
$$ \begin{aligned} \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha + 2 \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha &= 2 \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha - \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha \\ 3 \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha &= \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha \end{aligned} $$
Dividiendo entre $\cos(\alpha + \beta) \cos \alpha$:
$$ 3 \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} \implies 3 \tan \alpha = \tan(\alpha + \beta) $$
2. Resultado:
$$ \boxed{\tan (\alpha + \beta) = 3 \tan \alpha} $$