1. Datos y fórmulas:

• Condición: $\sin^2 \beta = \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha$
• Coseno del ángulo doble: $\cos 2\beta = 1 - 2 \sin^2 \beta$
• Identidad: $2 \cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$

2. Desarrollo:
Partimos del lado izquierdo de la igualdad deseada:
$$ \cos 2\beta = 1 - 2 \sin^2 \beta $$
Sustituimos la condición dada ($\sin^2 \beta = \sin \alpha \cos \alpha$):
$$ \cos 2\beta = 1 - 2 \sin \alpha \cos \alpha = 1 - \sin 2\alpha $$

Ahora analizamos el lado derecho de la igualdad propuesta: $2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right)$.
Usando la identidad $2 \cos^2 \theta = 1 + \cos 2\theta$:
$$ \begin{aligned} 2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) &= 1 + \cos \left[ 2 \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) \right] \\ &= 1 + \cos \left( \frac{\pi}{2} + 2\alpha \right) \end{aligned} $$

Por reducción al primer cuadrante o identidad de suma: $\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x$.
$$ 1 + \cos \left( \frac{\pi}{2} + 2\alpha \right) = 1 - \sin 2\alpha $$

3. Conclusión:
Ambos lados de la ecuación original son iguales a $1 - \sin 2\alpha$.
$$ \boxed{\cos 2\beta = 2 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right)} $$