1. Datos y propiedades:

• Condición: $3 \sin \beta = \sin (2\alpha + \beta)$
• Identidad de suma de ángulos: $\sin(x \pm y) = \sin x \cos y \pm \cos x \sin y$
• Relación fundamental: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

2. Desarrollo paso a paso:
Primero, reescribimos el argumento del lado derecho como una suma que involucre $(\alpha + \beta)$ y $\alpha$:
$$ 2\alpha + \beta = (\alpha + \beta) + \alpha $$
De igual forma, para el lado izquierdo, podemos expresar $\beta$ como:
$$ \beta = (\alpha + \beta) - \alpha $$

Sustituimos estas expresiones en la ecuación original:
$$ 3 \sin [(\alpha + \beta) - \alpha] = \sin [(\alpha + \beta) + \alpha] $$

Aplicamos las identidades de suma y resta de ángulos:
$$ \begin{aligned} 3 [ \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha - \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha ] &= \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha + \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha \\ 3 \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha - 3 \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha &= \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha + \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha \end{aligned} $$

Agrupamos los términos semejantes:
$$ \begin{aligned} 3 \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha - \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha &= \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha + 3 \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha \\ 2 \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha &= 4 \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha \end{aligned} $$

Dividimos ambos lados por $2 \cos(\alpha + \beta) \cos \alpha$ (asumiendo que son distintos de cero):
$$ \frac{2 \sin(\alpha + \beta) \cos \alpha}{2 \cos(\alpha + \beta) \cos \alpha} = \frac{4 \cos(\alpha + \beta) \sin \alpha}{2 \cos(\alpha + \beta) \cos \alpha} $$

Simplificando obtenemos:
$$ \tan(\alpha + \beta) = 2 \tan \alpha $$

3. Conclusión:
Se ha verificado la igualdad mediante el uso de ángulos compuestos.
$$ \boxed{\tan (\alpha + \beta) = 2 \tan \alpha} $$