1. Identidades fundamentales:
Usaremos la identidad del producto de cosenos de suma y diferencia:
$$ \cos(x+y)\cos(x-y) = \cos^2 x - \sin^2 y $$

2. Transformación de la expresión:
Queremos calcular $\cos (\alpha + \beta) \cos (\alpha - \beta)$. Aplicando la identidad mencionada:
$$ \cos (\alpha + \beta) \cos (\alpha - \beta) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta $$

3. Relación con el dato dado:
El dato es $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta = m$.
Sabemos que $\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta$. Sustituimos esto en nuestra expresión:
$$ \begin{aligned} \cos^2 \alpha - \sin^2 \beta &= \cos^2 \alpha - (1 - \cos^2 \beta) \\ &= \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta - 1 \end{aligned} $$

4. Conclusión:
Sustituimos el valor de $m$:
$$ \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta - 1 = m - 1 $$

$$ \boxed{\cos (\alpha + \beta) \cos (\alpha - \beta) = m - 1} $$