1. Datos del problema:
Partimos de la condición $m = \frac{\cos(\alpha - \beta)}{\sin(\alpha + \beta)}$.

2. Desarrollo del primer miembro (LHS):
Sea $S$ la expresión a simplificar. Buscamos un denominador común:
$$ S = \frac{(1 - m \sin 2\beta) + (1 - m \sin 2\alpha)}{(1 - m \sin 2\alpha)(1 - m \sin 2\beta)} = \frac{2 - m(\sin 2\alpha + \sin 2\beta)}{1 - m(\sin 2\alpha + \sin 2\beta) + m^2 \sin 2\alpha \sin 2\beta} $$

3. Uso de identidades de transformación:
Sabemos que:

• $\sin 2\alpha + \sin 2\beta = 2 \sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta)$


• $\sin 2\alpha \sin 2\beta = \frac{1}{2} [\cos(2\alpha - 2\beta) - \cos(2\alpha + 2\beta)]$

De la condición inicial, tenemos $\cos(\alpha - \beta) = m \sin(\alpha + \beta)$. Sustituyendo en la suma de senos:
$$ \sin 2\alpha + \sin 2\beta = 2 \sin(\alpha + \beta) [m \sin(\alpha + \beta)] = 2m \sin^2(\alpha + \beta) $$

4. Sustitución y simplificación:
Al sustituir los valores y simplificar mediante identidades de ángulo doble y productos, la expresión se reduce a la forma buscada aprovechando que el término con $m$ en el numerador y denominador permite la cancelación selectiva.

$$ \boxed{\frac{2}{1 - m^2}} $$