Iv
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_257
Propio
Enunciado
Si $\sin^{2} \alpha + \sin^{2} \beta + \sin^{2} \gamma - 2 = 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$, demuestre que se cumple una de las siguientes condiciones:
$$ \begin{cases} \alpha + \beta + \gamma = \pi (2k+1) \\ \alpha - \beta + \gamma = \pi (2l+1) \\ \alpha + \beta - \gamma = \pi (2m+1) \\ \alpha - \beta - \gamma = \pi (2n+1) \end{cases} $$
$$ \begin{cases} \alpha + \beta + \gamma = \pi (2k+1) \\ \alpha - \beta + \gamma = \pi (2l+1) \\ \alpha + \beta - \gamma = \pi (2m+1) \\ \alpha - \beta - \gamma = \pi (2n+1) \end{cases} $$
Solución Paso a Paso
1. Datos e Identidades:
Utilizaremos la identidad de reducción de potencia $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ y la identidad de suma a producto para cosenos.
2. Transformación de la ecuación:
Sustituimos los senos por cosenos:
$$ (1 - \cos^2 \alpha) + (1 - \cos^2 \beta) + (1 - \cos^2 \gamma) - 2 = 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma $$
Simplificando los términos constantes ($1+1+1-2 = 1$):
$$ 1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \beta - \cos^2 \gamma = 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma $$
Reordenando como una ecuación cuadrática para $\cos \alpha$:
$$ \cos^2 \alpha + (2 \cos \beta \cos \gamma) \cos \alpha + (\cos^2 \beta + \cos^2 \gamma - 1) = 0 $$
3. Resolución de la cuadrática:
Aplicamos la fórmula general para $\cos \alpha$:
$$ \begin{aligned} \cos \alpha &= \frac{-2\cos\beta\cos\gamma \pm \sqrt{(2\cos\beta\cos\gamma)^2 - 4(1)(\cos^2\beta + \cos^2\gamma - 1)}}{2} \\ \cos \alpha &= -\cos\beta\cos\gamma \pm \sqrt{\cos^2\beta\cos^2\gamma - \cos^2\beta - \cos^2\gamma + 1} \end{aligned} $$
Notamos que el discriminante se puede factorizar:
$$ \cos^2\beta\cos^2\gamma - \cos^2\beta - \cos^2\gamma + 1 = (1 - \cos^2\beta)(1 - \cos^2\gamma) = \sin^2\beta \sin^2\gamma $$
Por lo tanto:
$$ \cos \alpha = -\cos\beta\cos\gamma \pm \sin\beta\sin\gamma $$
4. Identidades de ángulo compuesto:
Recordando que $\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y$, tenemos dos casos:
Usando la propiedad $\cos \theta = -\cos \phi \implies \theta = \pi(2k+1) \pm \phi$, obtenemos las formas generales de los ángulos dadas en el enunciado.
$$ \boxed{\cos \alpha + \cos(\beta \pm \gamma) = 0} $$
Utilizaremos la identidad de reducción de potencia $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ y la identidad de suma a producto para cosenos.
2. Transformación de la ecuación:
Sustituimos los senos por cosenos:
$$ (1 - \cos^2 \alpha) + (1 - \cos^2 \beta) + (1 - \cos^2 \gamma) - 2 = 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma $$
Simplificando los términos constantes ($1+1+1-2 = 1$):
$$ 1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \beta - \cos^2 \gamma = 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma $$
Reordenando como una ecuación cuadrática para $\cos \alpha$:
$$ \cos^2 \alpha + (2 \cos \beta \cos \gamma) \cos \alpha + (\cos^2 \beta + \cos^2 \gamma - 1) = 0 $$
3. Resolución de la cuadrática:
Aplicamos la fórmula general para $\cos \alpha$:
$$ \begin{aligned} \cos \alpha &= \frac{-2\cos\beta\cos\gamma \pm \sqrt{(2\cos\beta\cos\gamma)^2 - 4(1)(\cos^2\beta + \cos^2\gamma - 1)}}{2} \\ \cos \alpha &= -\cos\beta\cos\gamma \pm \sqrt{\cos^2\beta\cos^2\gamma - \cos^2\beta - \cos^2\gamma + 1} \end{aligned} $$
Notamos que el discriminante se puede factorizar:
$$ \cos^2\beta\cos^2\gamma - \cos^2\beta - \cos^2\gamma + 1 = (1 - \cos^2\beta)(1 - \cos^2\gamma) = \sin^2\beta \sin^2\gamma $$
Por lo tanto:
$$ \cos \alpha = -\cos\beta\cos\gamma \pm \sin\beta\sin\gamma $$
4. Identidades de ángulo compuesto:
Recordando que $\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y$, tenemos dos casos:
- Caso (+): $\cos \alpha = -(\cos\beta\cos\gamma - \sin\beta\sin\gamma) = -\cos(\beta + \gamma)$
- Caso (-): $\cos \alpha = -(\cos\beta\cos\gamma + \sin\beta\sin\gamma) = -\cos(\beta - \gamma)$
Usando la propiedad $\cos \theta = -\cos \phi \implies \theta = \pi(2k+1) \pm \phi$, obtenemos las formas generales de los ángulos dadas en el enunciado.
$$ \boxed{\cos \alpha + \cos(\beta \pm \gamma) = 0} $$