1. Datos:
Se da la relación $\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma$.

2. Desarrollo paso a paso:
Transponemos $\tan \gamma$:
$$ \tan \alpha + \tan \beta = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma - \tan \gamma $$
Factorizamos $\tan \gamma$ en el lado derecho:
$$ \tan \alpha + \tan \beta = \tan \gamma (\tan \alpha \tan \beta - 1) $$
Dividimos ambos lados por $(\tan \alpha \tan \beta - 1)$, asumiendo que es distinto de cero:
$$ \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{\tan \alpha \tan \beta - 1} = \tan \gamma $$
Reconocemos la identidad de la tangente de la suma: $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$.
Por lo tanto:
$$ -\tan(\alpha + \beta) = \tan \gamma \implies \tan(\alpha + \beta) = -\tan \gamma $$
Sabemos que $-\tan \gamma = \tan(-\gamma)$, entonces $\alpha + \beta = -\gamma + \pi n$.

3. Resultado:
$$ \alpha + \beta + \gamma = \pi n $$
$$ \boxed{\alpha + \beta + \gamma = \pi n} $$