1. Preparación de la ecuación:
Dividimos toda la ecuación por el producto $\cot 2\beta \cot 2\gamma$ o reordenamos términos:
$$ \tan 2\alpha - (\cot 2\beta + \cot 2\gamma) = \tan 2\alpha \cot 2\beta \cot 2\gamma $$
Recordemos que $\cot x = \frac{1}{\tan x}$. Sustituimos:
$$ \tan 2\alpha - \frac{1}{\tan 2\beta} - \frac{1}{\tan 2\gamma} = \frac{\tan 2\alpha}{\tan 2\beta \tan 2\gamma} $$

2. Desarrollo:
Multiplicando por $\tan 2\beta \tan 2\gamma$:
$$ \tan 2\alpha \tan 2\beta \tan 2\gamma - \tan 2\gamma - \tan 2\beta = \tan 2\alpha $$
$$ \tan 2\alpha ( \tan 2\beta \tan 2\gamma - 1 ) = \tan 2\beta + \tan 2\gamma $$
Dividimos para formar la fórmula de la tangente de una suma:
$$ \tan 2\alpha = \frac{\tan 2\beta + \tan 2\gamma}{\tan 2\beta \tan 2\gamma - 1} = -\tan(2\beta + 2\gamma) $$
Como $\tan(-x) = -\tan x$, tenemos $\tan 2\alpha = \tan(-2\beta - 2\gamma)$.
Esto implica que $2\alpha = -2\beta - 2\gamma + \pi n$.

3. Resultado:
Dividiendo entre 2:
$$ \alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2} n $$
$$ \boxed{\alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2} n} $$