1. Datos y fórmulas:
Usamos la identidad $\cos^2 A - \cos^2 B = \sin(B+A)\sin(B-A)$.

2. Desarrollo:
Agrupamos la expresión:
$$ E = (\cos^2 \alpha - \cos^2 \gamma) + (\cos^2 \beta - \cos^2 \delta) $$
Aplicando la identidad mencionada:
$$ E = \sin(\gamma + \alpha)\sin(\gamma - \alpha) + \sin(\delta + \beta)\sin(\delta - \beta) $$
Como $\delta + \beta = 2\pi - (\alpha + \gamma)$, entonces $\sin(\delta + \beta) = -\sin(\alpha + \gamma)$.
Factorizamos $\sin(\alpha + \gamma)$:
$$ E = \sin(\alpha + \gamma) [ \sin(\gamma - \alpha) - \sin(\delta - \beta) ] $$
Aplicamos la resta de senos $\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}$. Al sustituir $\delta$ en función de los demás ángulos y simplificar:

3. Resultado:
$$ \boxed{\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta - \cos^2 \gamma - \cos^2 \delta = 2 \sin (\beta + \gamma) \sin (\alpha + \gamma) \sin (\alpha + \beta)} $$