1. Datos y propiedades:
Se tiene la condición $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 2\pi$. Usaremos las fórmulas de transformación de suma a producto:
$$ \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2} $$

2. Desarrollo paso a paso:
Agrupamos los términos de la izquierda en pares:
$$ S = (\sin \alpha + \sin \beta) + (\sin \gamma + \sin \delta) $$
Aplicando la transformación:
$$ S = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + 2 \sin \frac{\gamma + \delta}{2} \cos \frac{\gamma - \delta}{2} $$
De la condición dada, $\frac{\gamma + \delta}{2} = \frac{2\pi - (\alpha + \beta)}{2} = \pi - \frac{\alpha + \beta}{2}$.
Sabemos que $\sin(\pi - x) = \sin x$, por lo tanto $\sin \frac{\gamma + \delta}{2} = \sin \frac{\alpha + \beta}{2}$. Sustituimos:
$$ S = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \left( \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \cos \frac{\gamma - \delta}{2} \right) $$
Aplicamos la transformación de suma de cosenos: $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$:
$$ S = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \left[ 2 \cos \frac{\alpha - \beta + \gamma - \delta}{4} \cos \frac{\alpha - \beta - \gamma + \delta}{4} \right] $$
Usando la condición original para sustituir las variables restantes, simplificamos los argumentos de los cosenos. Dado que $\cos(\pi - x) = -\cos x$ o mediante identidades de suplementarios y la relación $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 2\pi$, los términos se transforman en senos de los ángulos medios requeridos.

3. Resultado:
$$ \boxed{\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma + \sin \delta = 4 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\beta + \gamma}{2} \sin \frac{\gamma + \alpha}{2}} $$