1. Datos del problema:

• Condición: $\gamma = \alpha + \beta$

2. Desarrollo paso a paso:
Transformamos la suma de los dos primeros senos:
$$ \begin{aligned} S &= (\sin \alpha + \sin \beta) - \sin \gamma \\ S &= 2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) - \sin \gamma \end{aligned} $$
Como $\alpha + \beta = \gamma$, entonces $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\gamma}{2}$:
$$ S = 2 \sin \frac{\gamma}{2} \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) - 2 \sin \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\gamma}{2} $$
Factorizamos $2 \sin \frac{\gamma}{2}$:
$$ S = 2 \sin \frac{\gamma}{2} \left[ \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) - \cos \frac{\gamma}{2} \right] $$
Nuevamente usamos $\frac{\gamma}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2}$:
$$ S = 2 \sin \frac{\gamma}{2} \left[ \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) - \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \right] $$
Usando la identidad $\cos(x-y) - \cos(x+y) = 2 \sin x \sin y$, con $x = \alpha/2$ y $y = \beta/2$:
$$ S = 2 \sin \frac{\gamma}{2} \left[ 2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \right] $$
Reordenando términos:
$$ \boxed{\sin \alpha + \sin \beta - \sin \gamma = 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}} $$
*Nota importante: Si se desea llegar estrictamente al formato $4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}$ con la condición $\alpha + \beta = \gamma$, el lado izquierdo debería ser $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma$ si los ángulos fueran complementarios en otra configuración, pero para esta condición específica, la forma de productos de senos es la natural.*