1. Datos del problema:

• Condición: $\alpha + \beta + \gamma = \pi n$, donde $n$ es un entero.

2. Fórmulas usadas:

• Degradación de potencia: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$
• Suma de cosenos: $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos las potencias cuadráticas:
$$ \begin{aligned} E &= \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} + \frac{1 + \cos 2\beta}{2} + \cos^2 \gamma - 1 \\ E &= 1 + \frac{\cos 2\alpha + \cos 2\beta}{2} + \cos^2 \gamma - 1 \\ E &= \frac{2 \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta)}{2} + \cos^2 \gamma \\ E &= \cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) + \cos^2 \gamma \end{aligned} $$
De la condición $\alpha + \beta = \pi n - \gamma$, entonces:
$\cos(\alpha + \beta) = \cos(\pi n - \gamma) = \cos(\pi n) \cos \gamma + \sin(\pi n) \sin \gamma$
Como $\sin(\pi n) = 0$ y $\cos(\pi n) = (-1)^n$:
$\cos(\alpha + \beta) = (-1)^n \cos \gamma$
Sustituyendo en la expresión:
$$ \begin{aligned} E &= (-1)^n \cos \gamma \cos(\alpha - \beta) + \cos^2 \gamma \\ E &= \cos \gamma [ (-1)^n \cos(\alpha - \beta) + \cos \gamma ] \end{aligned} $$
Multiplicamos y dividimos por $(-1)^n$ (recordando que $1/(-1)^n = (-1)^n$):
$$ \begin{aligned} E &= (-1)^n \cos \gamma [ \cos(\alpha - \beta) + (-1)^n \cos \gamma ] \end{aligned} $$
Dado que $\cos \gamma = (-1)^n \cos(\alpha + \beta)$ tras despejar de la relación anterior:
$$ \begin{aligned} E &= (-1)^n \cos \gamma [ \cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) ] \end{aligned} $$
Usando la identidad de producto $2 \cos A \cos B = \cos(A-B) + \cos(A+B)$:
$$ \boxed{\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma - 1 = (-1)^n 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma} $$