1. Datos del problema:

• Condición: $\alpha + \beta + \gamma = \pi$

2. Fórmulas usadas:

• Tangente de la suma: $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$

3. Desarrollo paso a paso:
De la condición, despejamos un ángulo:
$\alpha + \beta = \pi - \gamma$
Aplicamos tangente a ambos lados:
$\tan(\alpha + \beta) = \tan(\pi - \gamma)$
Usando la fórmula de reducción al primer cuadrante, $\tan(\pi - \gamma) = -\tan \gamma$:
$$ \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = -\tan \gamma $$
Multiplicamos el denominador en el segundo miembro:
$\tan \alpha + \tan \beta = -\tan \gamma (1 - \tan \alpha \tan \beta)$
$\tan \alpha + \tan \beta = -\tan \gamma + \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma$
Transponiendo $-\tan \gamma$ al primer miembro:
$$ \boxed{\tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma} $$