Ii
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_249
Propio
Enunciado
Paso 1:
Demostrar que $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}$ si se cumple la condición $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.
Demostrar que $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}$ si se cumple la condición $\alpha + \beta + \gamma = \pi$.
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Fórmulas usadas:
3. Desarrollo paso a paso:
Agrupamos los dos primeros términos y aplicamos la fórmula de transformación:
$$ \begin{aligned} S &= (\sin \alpha + \sin \beta) + \sin \gamma \\ S &= 2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) + \sin \gamma \end{aligned} $$
De la condición $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, tenemos $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$. Por lo tanto:
$\sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2} \right) = \cos \frac{\gamma}{2}$.
Sustituyendo esto y aplicando ángulo mitad a $\sin \gamma$:
$$ \begin{aligned} S &= 2 \cos \frac{\gamma}{2} \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) + 2 \sin \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\gamma}{2} \\ S &= 2 \cos \frac{\gamma}{2} \left[ \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) + \sin \frac{\gamma}{2} \right] \end{aligned} $$
Como $\frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha + \beta}{2}$, entonces $\sin \frac{\gamma}{2} = \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)$:
$$ \begin{aligned} S &= 2 \cos \frac{\gamma}{2} \left[ \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) + \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \right] \end{aligned} $$
Usando la identidad de suma de cosenos $\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$:
$$ \begin{aligned} S &= 2 \cos \frac{\gamma}{2} \left[ 2 \cos \left( \frac{\frac{\alpha - \beta}{2} + \frac{\alpha + \beta}{2}}{2} \right) \cos \left( \frac{\frac{\alpha - \beta}{2} - \frac{\alpha + \beta}{2}}{2} \right) \right] \\ S &= 2 \cos \frac{\gamma}{2} \left[ 2 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \left( -\frac{\beta}{2} \right) \right] \end{aligned} $$
Dado que $\cos(-x) = \cos x$:
$$ \boxed{\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}} $$
- Condición: $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ (esto implica que son ángulos de un triángulo).
- Objetivo: Transformar la suma de senos en un producto de cosenos de ángulos mitad.
2. Fórmulas usadas:
- Suma a producto: $\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$
- Ángulo doble/mitad: $\sin \gamma = 2 \sin \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\gamma}{2}$
- Complemento: Si $x+y = \frac{\pi}{2}$, entonces $\sin x = \cos y$ y viceversa.
3. Desarrollo paso a paso:
Agrupamos los dos primeros términos y aplicamos la fórmula de transformación:
$$ \begin{aligned} S &= (\sin \alpha + \sin \beta) + \sin \gamma \\ S &= 2 \sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) + \sin \gamma \end{aligned} $$
De la condición $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, tenemos $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$. Por lo tanto:
$\sin \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2} \right) = \cos \frac{\gamma}{2}$.
Sustituyendo esto y aplicando ángulo mitad a $\sin \gamma$:
$$ \begin{aligned} S &= 2 \cos \frac{\gamma}{2} \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) + 2 \sin \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\gamma}{2} \\ S &= 2 \cos \frac{\gamma}{2} \left[ \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) + \sin \frac{\gamma}{2} \right] \end{aligned} $$
Como $\frac{\gamma}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha + \beta}{2}$, entonces $\sin \frac{\gamma}{2} = \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right)$:
$$ \begin{aligned} S &= 2 \cos \frac{\gamma}{2} \left[ \cos \left( \frac{\alpha - \beta}{2} \right) + \cos \left( \frac{\alpha + \beta}{2} \right) \right] \end{aligned} $$
Usando la identidad de suma de cosenos $\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2}$:
$$ \begin{aligned} S &= 2 \cos \frac{\gamma}{2} \left[ 2 \cos \left( \frac{\frac{\alpha - \beta}{2} + \frac{\alpha + \beta}{2}}{2} \right) \cos \left( \frac{\frac{\alpha - \beta}{2} - \frac{\alpha + \beta}{2}}{2} \right) \right] \\ S &= 2 \cos \frac{\gamma}{2} \left[ 2 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \left( -\frac{\beta}{2} \right) \right] \end{aligned} $$
Dado que $\cos(-x) = \cos x$:
$$ \boxed{\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 4 \cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} \cos \frac{\gamma}{2}} $$