Ii
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_248
Litvidenko - Problemas de Matemáticas Elementales
Enunciado
Demostrar que si $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, entonces:
$$ \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1 + 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} $$
$$ \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1 + 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} $$
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
Se trata de una identidad condicional en un triángulo (ya que la suma de ángulos es $\pi$ o $180^{\circ}$).
2. Formulas usadas:
3. Desarrollo paso a paso:
Partimos del miembro izquierdo (L):
$$ L = (\cos \alpha + \cos \beta) + \cos \gamma $$
Aplicando la transformación a los dos primeros términos:
$$ L = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \cos \gamma $$
Sustituyendo $\cos \frac{\alpha+\beta}{2}$ por $\sin \frac{\gamma}{2}$ y usando la identidad del ángulo mitad para $\cos \gamma$:
$$ L = 2 \sin \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + (1 - 2 \sin^2 \frac{\gamma}{2}) $$
Factorizando el término $2 \sin \frac{\gamma}{2}$:
$$ L = 1 + 2 \sin \frac{\gamma}{2} \left[ \cos \frac{\alpha - \beta}{2} - \sin \frac{\gamma}{2} \right] $$
Como $\sin \frac{\gamma}{2} = \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$, sustituimos dentro del paréntesis:
$$ L = 1 + 2 \sin \frac{\gamma}{2} \left[ \cos \frac{\alpha - \beta}{2} - \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \right] $$
Aplicando la transformación de resta de cosenos $\cos X - \cos Y = -2 \sin \frac{X+Y}{2} \sin \frac{X-Y}{2}$:
Donde $X = \frac{\alpha-\beta}{2}$ y $Y = \frac{\alpha+\beta}{2}$:
$$ \cos \frac{\alpha - \beta}{2} - \cos \frac{\alpha + \beta}{2} = -2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin (-\frac{\beta}{2}) = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} $$
Sustituyendo de vuelta en la expresión de $L$:
$$ L = 1 + 2 \sin \frac{\gamma}{2} [ 2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} ] $$
$$ L = 1 + 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} $$
4. Conclusión:
La identidad es válida para cualquier conjunto de ángulos cuya suma sea $\pi$.
$$ \boxed{\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1 + 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}} $$
Se trata de una identidad condicional en un triángulo (ya que la suma de ángulos es $\pi$ o $180^{\circ}$).
2. Formulas usadas:
- Transformación de suma a producto: $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$
- Ángulo doble/mitad: $\cos \gamma = 1 - 2\sin^2 \frac{\gamma}{2}$
- Propiedades de ángulos suplementarios: Si $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, entonces $\frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\gamma}{2}$, por lo que $\cos \frac{\alpha+\beta}{2} = \sin \frac{\gamma}{2}$.
3. Desarrollo paso a paso:
Partimos del miembro izquierdo (L):
$$ L = (\cos \alpha + \cos \beta) + \cos \gamma $$
Aplicando la transformación a los dos primeros términos:
$$ L = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + \cos \gamma $$
Sustituyendo $\cos \frac{\alpha+\beta}{2}$ por $\sin \frac{\gamma}{2}$ y usando la identidad del ángulo mitad para $\cos \gamma$:
$$ L = 2 \sin \frac{\gamma}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} + (1 - 2 \sin^2 \frac{\gamma}{2}) $$
Factorizando el término $2 \sin \frac{\gamma}{2}$:
$$ L = 1 + 2 \sin \frac{\gamma}{2} \left[ \cos \frac{\alpha - \beta}{2} - \sin \frac{\gamma}{2} \right] $$
Como $\sin \frac{\gamma}{2} = \cos \frac{\alpha+\beta}{2}$, sustituimos dentro del paréntesis:
$$ L = 1 + 2 \sin \frac{\gamma}{2} \left[ \cos \frac{\alpha - \beta}{2} - \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \right] $$
Aplicando la transformación de resta de cosenos $\cos X - \cos Y = -2 \sin \frac{X+Y}{2} \sin \frac{X-Y}{2}$:
Donde $X = \frac{\alpha-\beta}{2}$ y $Y = \frac{\alpha+\beta}{2}$:
- $\frac{X+Y}{2} = \frac{\alpha/2}{1} = \frac{\alpha}{2}$
- $\frac{X-Y}{2} = \frac{-\beta/2}{1} = -\frac{\beta}{2}$
$$ \cos \frac{\alpha - \beta}{2} - \cos \frac{\alpha + \beta}{2} = -2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin (-\frac{\beta}{2}) = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} $$
Sustituyendo de vuelta en la expresión de $L$:
$$ L = 1 + 2 \sin \frac{\gamma}{2} [ 2 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} ] $$
$$ L = 1 + 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2} $$
4. Conclusión:
La identidad es válida para cualquier conjunto de ángulos cuya suma sea $\pi$.
$$ \boxed{\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 1 + 4 \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2} \sin \frac{\gamma}{2}} $$