1. Datos del problema:
La expresión involucra cubos de senos de ángulos que mantienen una relación cíclica.

2. Propiedades usadas:
Identidad algebraica de productos notables:
$$ \text{Si } a + b + c = 0 \Rightarrow a^3 + b^3 + c^3 = 3abc $$
Identidad trigonométrica de producto de senos:
$$ \sin(x-y)\sin(z) + \sin(y-z)\sin(x) + \sin(z-x)\sin(y) = 0 \text{ (Identidad de Euler)} $$

3. Desarrollo paso a paso:
Definamos las variables algebraicas:
$$ a = \sin \alpha \sin (\beta - \gamma) $$
$$ b = \sin \beta \sin (\gamma - \alpha) $$
$$ c = \sin \gamma \sin (\alpha - \beta) $$

Verificamos si $a + b + c = 0$. Expandiendo cada término mediante $\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$:
$$ a = \sin \alpha (\sin \beta \cos \gamma - \cos \beta \sin \gamma) = \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma $$
$$ b = \sin \beta (\sin \gamma \cos \alpha - \cos \gamma \sin \alpha) = \sin \beta \sin \gamma \cos \alpha - \sin \beta \cos \gamma \sin \alpha $$
$$ c = \sin \gamma (\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta) = \sin \gamma \sin \alpha \cos \beta - \sin \gamma \cos \alpha \sin \beta $$

Al sumar $a + b + c$:
$$ \begin{aligned} a+b+c = & (\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma - \sin \beta \cos \gamma \sin \alpha) \\ & + (\sin \beta \sin \gamma \cos \alpha - \sin \gamma \cos \alpha \sin \beta) \\ & + (\sin \gamma \sin \alpha \cos \beta - \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma) \end{aligned} $$
Todos los términos se cancelan mutuamente, por lo tanto $a + b + c = 0$.

Aplicando la identidad algebraica $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$:
$$ (\sin \alpha \sin (\beta - \gamma))^3 + (\sin \beta \sin (\gamma - \alpha))^3 + (\sin \gamma \sin (\alpha - \beta))^3 = 3(\sin \alpha \sin (\beta - \gamma))(\sin \beta \sin (\gamma - \alpha))(\sin \gamma \sin (\alpha - \beta)) $$

Reordenando los términos del producto:
$$ \sin^3 \alpha \sin^3 (\beta - \gamma) + \sin^3 \beta \sin^3 (\gamma - \alpha) + \sin^3 \gamma \sin^3 (\alpha - \beta) = 3 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma \sin (\alpha - \beta) \sin (\beta - \gamma) \sin (\gamma - \alpha) $$

4. Conclusión:
La identidad queda demostrada al reducir el problema trigonométrico a una propiedad algebraica de sumas de cubos.
$$ \boxed{L.H.S. = R.H.S.} $$