Iv
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_246
Litvidenko - Problemas de Matemáticas Elementales
Enunciado
Demostrar la siguiente identidad trigonométrica:
$$ \tan 2\alpha \tan (30^{\circ} - \alpha) + \tan 2\alpha \tan (60^{\circ} - \alpha) + \tan (60^{\circ} - \alpha) \tan (30^{\circ} - \alpha) = 1 $$
$$ \tan 2\alpha \tan (30^{\circ} - \alpha) + \tan 2\alpha \tan (60^{\circ} - \alpha) + \tan (60^{\circ} - \alpha) \tan (30^{\circ} - \alpha) = 1 $$
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
Se nos pide verificar una relación de suma de productos de tangentes. Observamos que los ángulos involucrados son $2\alpha$, $(30^{\circ} - \alpha)$ y $(60^{\circ} - \alpha)$.
2. Propiedades usadas:
Utilizaremos la identidad de la suma de ángulos para la tangente:
$$ \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} $$
De la cual se desprende la forma:
$$ \tan A \tan B = 1 - \frac{\tan A + \tan B}{\tan(A + B)} $$
O bien, para tres ángulos cuya suma es $90^{\circ}$:
$$ \text{Si } A+B+C = 90^{\circ} \Rightarrow \tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A = 1 $$
3. Desarrollo paso a paso:
Analicemos la suma de los tres ángulos presentes en la expresión:
$$ S = (2\alpha) + (30^{\circ} - \alpha) + (60^{\circ} - \alpha) $$
Sumando los términos:
$$ S = 2\alpha - \alpha - \alpha + 30^{\circ} + 60^{\circ} $$
$$ S = 90^{\circ} $$
Como la suma de los ángulos es $90^{\circ}$, podemos establecer que:
$$ 2\alpha = 90^{\circ} - [(30^{\circ} - \alpha) + (60^{\circ} - \alpha)] $$
Aplicando la propiedad de co-funciones ($\tan(90^{\circ}-x) = \cot x$):
$$ \tan(2\alpha) = \cot((30^{\circ} - \alpha) + (60^{\circ} - \alpha)) $$
$$ \tan(2\alpha) = \frac{1}{\tan((30^{\circ} - \alpha) + (60^{\circ} - \alpha))} $$
Expandiendo la tangente de la suma en el denominador:
$$ \tan(2\alpha) = \frac{1 - \tan(30^{\circ} - \alpha)\tan(60^{\circ} - \alpha)}{\tan(30^{\circ} - \alpha) + \tan(60^{\circ} - \alpha)} $$
Multiplicando cruzado:
$$ \tan 2\alpha [\tan(30^{\circ} - \alpha) + \tan(60^{\circ} - \alpha)] = 1 - \tan(30^{\circ} - \alpha)\tan(60^{\circ} - \alpha) $$
$$ \tan 2\alpha \tan(30^{\circ} - \alpha) + \tan 2\alpha \tan(60^{\circ} - \alpha) = 1 - \tan(60^{\circ} - \alpha)\tan(30^{\circ} - \alpha) $$
Trasponiendo el último término al lado izquierdo:
$$ \tan 2\alpha \tan (30^{\circ} - \alpha) + \tan 2\alpha \tan (60^{\circ} - \alpha) + \tan (60^{\circ} - \alpha) \tan (30^{\circ} - \alpha) = 1 $$
4. Conclusión:
Se ha demostrado que la suma de los productos binarios de las tangentes es igual a la unidad debido a que la suma de sus argumentos es exactamente un ángulo recto.
$$ \boxed{1 = 1} $$
Se nos pide verificar una relación de suma de productos de tangentes. Observamos que los ángulos involucrados son $2\alpha$, $(30^{\circ} - \alpha)$ y $(60^{\circ} - \alpha)$.
2. Propiedades usadas:
Utilizaremos la identidad de la suma de ángulos para la tangente:
$$ \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} $$
De la cual se desprende la forma:
$$ \tan A \tan B = 1 - \frac{\tan A + \tan B}{\tan(A + B)} $$
O bien, para tres ángulos cuya suma es $90^{\circ}$:
$$ \text{Si } A+B+C = 90^{\circ} \Rightarrow \tan A \tan B + \tan B \tan C + \tan C \tan A = 1 $$
3. Desarrollo paso a paso:
Analicemos la suma de los tres ángulos presentes en la expresión:
$$ S = (2\alpha) + (30^{\circ} - \alpha) + (60^{\circ} - \alpha) $$
Sumando los términos:
$$ S = 2\alpha - \alpha - \alpha + 30^{\circ} + 60^{\circ} $$
$$ S = 90^{\circ} $$
Como la suma de los ángulos es $90^{\circ}$, podemos establecer que:
$$ 2\alpha = 90^{\circ} - [(30^{\circ} - \alpha) + (60^{\circ} - \alpha)] $$
Aplicando la propiedad de co-funciones ($\tan(90^{\circ}-x) = \cot x$):
$$ \tan(2\alpha) = \cot((30^{\circ} - \alpha) + (60^{\circ} - \alpha)) $$
$$ \tan(2\alpha) = \frac{1}{\tan((30^{\circ} - \alpha) + (60^{\circ} - \alpha))} $$
Expandiendo la tangente de la suma en el denominador:
$$ \tan(2\alpha) = \frac{1 - \tan(30^{\circ} - \alpha)\tan(60^{\circ} - \alpha)}{\tan(30^{\circ} - \alpha) + \tan(60^{\circ} - \alpha)} $$
Multiplicando cruzado:
$$ \tan 2\alpha [\tan(30^{\circ} - \alpha) + \tan(60^{\circ} - \alpha)] = 1 - \tan(30^{\circ} - \alpha)\tan(60^{\circ} - \alpha) $$
$$ \tan 2\alpha \tan(30^{\circ} - \alpha) + \tan 2\alpha \tan(60^{\circ} - \alpha) = 1 - \tan(60^{\circ} - \alpha)\tan(30^{\circ} - \alpha) $$
Trasponiendo el último término al lado izquierdo:
$$ \tan 2\alpha \tan (30^{\circ} - \alpha) + \tan 2\alpha \tan (60^{\circ} - \alpha) + \tan (60^{\circ} - \alpha) \tan (30^{\circ} - \alpha) = 1 $$
4. Conclusión:
Se ha demostrado que la suma de los productos binarios de las tangentes es igual a la unidad debido a que la suma de sus argumentos es exactamente un ángulo recto.
$$ \boxed{1 = 1} $$