1. Datos del problema:
$E = \sqrt{1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha}$.

2. Propiedades usadas:

• Identidad pitagórica: $1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$.


• Trinomio cuadrado perfecto: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.


• Identidad del ángulo compuesto: $\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \sin(\alpha + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \cos(\alpha - \frac{\pi}{4})$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituyendo el valor de 1:
$$ \begin{aligned} E &= \sqrt{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha} \\ E &= \sqrt{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2} \\ E &= |\sin \alpha + \cos \alpha| \end{aligned} $$
Usando la identidad auxiliar $\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \cos(\alpha - \frac{\pi}{4})$:
$$ E = |\sqrt{2} \cos(\alpha - \frac{\pi}{4})| = \sqrt{2} |\cos(\alpha - \frac{\pi}{4})| $$
Analizamos el signo del coseno:

• Es positivo cuando $-\frac{\pi}{2} \le \alpha - \frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{2}$, lo cual equivale a $-\frac{\pi}{4} \le \alpha \le \frac{3\pi}{4}$ (más el periodo $2\pi k$).


• Es negativo en el intervalo complementario: $\frac{3\pi}{4} < \alpha < \frac{7\pi}{4}$.

4. Conclusión:
$$ \boxed{ E = \begin{cases} \sqrt{2} \cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) & \text{si } -\frac{\pi}{4} + 2\pi k \le \alpha \le \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \\ -\sqrt{2} \cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) & \text{si } \frac{3\pi}{4} + 2\pi k < \alpha < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k \end{cases} $$