1. Datos del problema:
$E = \sqrt{1 + \cos 2\alpha} + \sqrt{1 - \cos 2\alpha} + \sqrt{2}(\sin \alpha + \cos \alpha)$.

2. Propiedades usadas:

• Identidades de reducción de potencia: $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha$ y $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha$.


• Raíz cuadrada: $\sqrt{2\cos^2 \alpha} = \sqrt{2}|\cos \alpha|$ y $\sqrt{2\sin^2 \alpha} = \sqrt{2}|\sin \alpha|$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituyendo las identidades:
$$ E = \sqrt{2}|\cos \alpha| + \sqrt{2}|\sin \alpha| + \sqrt{2}\sin \alpha + \sqrt{2}\cos \alpha $$
Factorizando $\sqrt{2}$:
$$ E = \sqrt{2} ( |\cos \alpha| + |\sin \alpha| + \sin \alpha + \cos \alpha ) $$
Analizamos por cuadrantes:

• I C ($0 \le \alpha \le \pi/2$): $\sin \alpha \ge 0, \cos \alpha \ge 0$.

$E = \sqrt{2}(\cos \alpha + \sin \alpha + \sin \alpha + \cos \alpha) = 2\sqrt{2}(\sin \alpha + \cos \alpha)$.

• II C ($\pi/2 < \alpha < \pi$): $\sin \alpha > 0, \cos \alpha < 0$.

$E = \sqrt{2}(-\cos \alpha + \sin \alpha + \sin \alpha + \cos \alpha) = 2\sqrt{2}\sin \alpha$.

• III C ($\pi \le \alpha \le 3\pi/2$): $\sin \alpha \le 0, \cos \alpha \le 0$.

$E = \sqrt{2}(-\cos \alpha - \sin \alpha + \sin \alpha + \cos \alpha) = 0$.

• IV C ($3\pi/2 < \alpha < 2\pi$): $\sin \alpha < 0, \cos \alpha > 0$.

$E = \sqrt{2}(\cos \alpha - \sin \alpha + \sin \alpha + \cos \alpha) = 2\sqrt{2}\cos \alpha$.

4. Conclusión:
La expresión simplificada se comporta como una función por partes.

$$ \boxed{ E = \begin{cases} 2\sqrt{2}(\sin \alpha + \cos \alpha) & \text{si } 2\pi k \le \alpha \le \frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ 2\sqrt{2}\sin \alpha & \text{si } \frac{\pi}{2} + 2\pi k < \alpha < \pi + 2\pi k \\ 0 & \text{si } \pi + 2\pi k \le \alpha \le \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \\ 2\sqrt{2}\cos \alpha & \text{si } \frac{3\pi}{2} + 2\pi k < \alpha < 2\pi + 2\pi k \end{cases} $$