1. Datos del problema:
La expresión a simplificar es $E = \sqrt{\tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha + 2}$.

2. Propiedades usadas:

• Identidad fundamental: $\tan \alpha \cdot \cot \alpha = 1$.


• Identidad de suma: $\tan^2 \alpha + \cot^2 \alpha + 2 = (\tan \alpha + \cot \alpha)^2$.


• Relación con seno y coseno: $\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}$.


• Ángulo doble: $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha \implies \sin \alpha \cos \alpha = \frac{\sin 2\alpha}{2}$.


• Propiedad de la raíz: $\sqrt{x^2} = |x|$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos el trinomio cuadrado perfecto dentro de la raíz:
$$ \begin{aligned} E &= \sqrt{(\tan \alpha + \cot \alpha)^2} \\ E &= |\tan \alpha + \cot \alpha| \end{aligned} $$
Expresamos en términos de seno y coseno:
$$ E = \left| \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} \right| = \left| \frac{2}{2 \sin \alpha \cos \alpha} \right| = \left| \frac{2}{\sin 2\alpha} \right| $$
Analizamos el signo de $\sin 2\alpha$ según los intervalos:

• Caso 1: $\pi k < \alpha < \frac{\pi}{2} + \pi k$. Multiplicando por 2: $2\pi k < 2\alpha < \pi + 2\pi k$. En este intervalo (cuadrantes I y II para $2\alpha$), el seno es positivo. Por lo tanto, $| \frac{2}{\sin 2\alpha} | = \frac{2}{\sin 2\alpha}$.


• Caso 2: $-\frac{\pi}{2} + \pi k < \alpha < \pi k$. Multiplicando por 2: $-\pi + 2\pi k < 2\alpha < 2\pi k$. En este intervalo (cuadrantes III y IV para $2\alpha$), el seno es negativo. Por lo tanto, $| \frac{2}{\sin 2\alpha} | = -\frac{2}{\sin 2\alpha}$.

4. Conclusión:
El resultado depende del cuadrante donde se ubique el ángulo doble.

$$ \boxed{ E = \begin{cases} \frac{2}{\sin 2\alpha} & \text{si } \pi k < \alpha < \frac{\pi}{2} + \pi k \\ -\frac{2}{\sin 2\alpha} & \text{si } -\frac{\pi}{2} + \pi k < \alpha < \pi k \end{cases} $$