Iii
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_242
Problemas de Trigonometría
Enunciado
Demostrar que:
$$ \sqrt{\frac{1 + \sin \alpha}{1 - \sin \alpha}} - \sqrt{\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha}} = \begin{cases} 2 \tan \alpha & \text{if } -\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \alpha < \frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ -2 \tan \alpha & \text{if } \frac{\pi}{2} + 2\pi k < \alpha < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \end{cases} $$
$$ \sqrt{\frac{1 + \sin \alpha}{1 - \sin \alpha}} - \sqrt{\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha}} = \begin{cases} 2 \tan \alpha & \text{if } -\frac{\pi}{2} + 2\pi k < \alpha < \frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ -2 \tan \alpha & \text{if } \frac{\pi}{2} + 2\pi k < \alpha < \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \end{cases} $$
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
Simplificación de raíces cuadradas de cocientes trigonométricos.
2. Propiedades usadas:
3. Desarrollo paso a paso:
Simplificamos cada raíz por separado:
$$ \sqrt{\frac{(1 + \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}} = \sqrt{\frac{(1 + \sin \alpha)^2}{\cos^2 \alpha}} = \frac{1 + \sin \alpha}{|\cos \alpha|} $$
(Notar que $1 + \sin \alpha \geq 0$ siempre).
La segunda raíz:
$$ \sqrt{\frac{(1 - \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)}{(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)}} = \sqrt{\frac{(1 - \sin \alpha)^2}{\cos^2 \alpha}} = \frac{1 - \sin \alpha}{|\cos \alpha|} $$
Restamos ambas expresiones:
$$ \frac{1 + \sin \alpha - (1 - \sin \alpha)}{|\cos \alpha|} = \frac{2 \sin \alpha}{|\cos \alpha|} $$
Análisis de signos:
4. Resultado:
Se confirma la estructura por tramos dada en el problema.
$$ \boxed{ \text{Resultado depende del signo de } \cos \alpha } $$
Simplificación de raíces cuadradas de cocientes trigonométricos.
2. Propiedades usadas:
- Racionalización: $\frac{1+\sin \alpha}{1-\sin \alpha} = \frac{(1+\sin \alpha)^2}{\cos^2 \alpha}$
- Definición: $\sqrt{x^2} = |x|$
3. Desarrollo paso a paso:
Simplificamos cada raíz por separado:
$$ \sqrt{\frac{(1 + \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha)}} = \sqrt{\frac{(1 + \sin \alpha)^2}{\cos^2 \alpha}} = \frac{1 + \sin \alpha}{|\cos \alpha|} $$
(Notar que $1 + \sin \alpha \geq 0$ siempre).
La segunda raíz:
$$ \sqrt{\frac{(1 - \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)}{(1 + \sin \alpha)(1 - \sin \alpha)}} = \sqrt{\frac{(1 - \sin \alpha)^2}{\cos^2 \alpha}} = \frac{1 - \sin \alpha}{|\cos \alpha|} $$
Restamos ambas expresiones:
$$ \frac{1 + \sin \alpha - (1 - \sin \alpha)}{|\cos \alpha|} = \frac{2 \sin \alpha}{|\cos \alpha|} $$
Análisis de signos:
- Si $\alpha$ está en el cuadrante I o IV (donde $\cos \alpha > 0$):
$$ \frac{2 \sin \alpha}{\cos \alpha} = 2 \tan \alpha $$ - Si $\alpha$ está en el cuadrante II o III (donde $\cos \alpha < 0$):
$$ \frac{2 \sin \alpha}{-\cos \alpha} = -2 \tan \alpha $$
4. Resultado:
Se confirma la estructura por tramos dada en el problema.
$$ \boxed{ \text{Resultado depende del signo de } \cos \alpha } $$