1. Datos del problema:
Se nos pide simplificar la expresión dentro de la raíz en el lado izquierdo (L.I.) y verificar si coincide con el lado derecho (L.D.) bajo el intervalo dado.

2. Propiedades usadas:

• $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$
• $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
• Identidad fundamental: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
• Ángulo compuesto: $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$

3. Desarrollo paso a paso:
Trabajamos con el radicando del L.I.:
$$ \begin{aligned} E &= \sin^2 \alpha (1 + \cot \alpha) + \cos^2 \alpha (1 + \tan \alpha) \\ &= \sin^2 \alpha \left( 1 + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \right) + \cos^2 \alpha \left( 1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \right) \\ &= \sin^2 \alpha + \sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha + \cos \alpha \sin \alpha \\ &= (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) + 2 \sin \alpha \cos \alpha \\ &= 1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha \end{aligned} $$
Reconocemos que $1 + 2 \sin \alpha \cos \alpha = (\sin \alpha + \cos \alpha)^2$. Entonces la expresión original es:
$$ \sqrt{(\sin \alpha + \cos \alpha)^2} = |\sin \alpha + \cos \alpha| $$

Dado el intervalo $-\frac{\pi}{4} \leq \alpha \leq \frac{3\pi}{4}$, la suma $\sin \alpha + \cos \alpha$ es no negativa, por lo que podemos prescindir del valor absoluto:
$$ \sin \alpha + \cos \alpha $$

Ahora, transformamos el L.D. usando la fórmula del coseno de la diferencia:
$$ \begin{aligned} \sqrt{2} \cos \left( \alpha - \frac{\pi}{4} \right) &= \sqrt{2} \left( \cos \alpha \cos \frac{\pi}{4} + \sin \alpha \sin \frac{\pi}{4} \right) \\ &= \sqrt{2} \left( \cos \alpha \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \sin \alpha \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \\ &= \cos \alpha + \sin \alpha \end{aligned} $$

4. Conclusión:
Ambos lados de la ecuación son equivalentes en el intervalo definido.

$$ \boxed{\sin \alpha + \cos \alpha = \sin \alpha + \cos \alpha} $$