1. Datos del problema:
Simplificar la raíz de la suma de recíprocos cuadrados considerando el cuadrante del ángulo.

2. Fórmulas usadas:

• $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
• $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$

3. Desarrollo paso a paso:
Operamos dentro de la raíz:
$$ \begin{aligned} LI &= \sqrt{\frac{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}} \\ LI &= \sqrt{\frac{1}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha}} \\ LI &= \frac{1}{|\sin \alpha \cos \alpha|} \end{aligned} $$
Análisis del signo: Dado que $-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0$ (Cuarto Cuadrante):

• $\sin \alpha$ es negativo.
• $\cos \alpha$ es positivo.
• El producto $(\sin \alpha \cos \alpha)$ es negativo.

Por definición de valor absoluto $|x| = -x$ si $x < 0$:
$$ LI = \frac{1}{-(\sin \alpha \cos \alpha)} $$
Multiplicamos por $2/2$ para obtener el ángulo doble:
$$ LI = -\frac{2}{2\sin \alpha \cos \alpha} = -\frac{2}{\sin 2\alpha} $$
4. Resultado:
Se demuestra la identidad considerando el signo negativo propio del intervalo.
$$ \boxed{-\frac{2}{\sin 2\alpha}} $$