1. Agrupación de términos:
Agrupamos los términos con coeficientes iguales en el miembro izquierdo ($L$):
$$ L = 9(\cos 15\alpha + \cos 11\alpha) + 3(\cos 19\alpha + \cos 7\alpha) $$

2. Transformación de suma a producto:
Usamos $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$:

• Para $9(\cos 15\alpha + \cos 11\alpha) = 9 [ 2 \cos 13\alpha \cos 2\alpha ] = 18 \cos 13\alpha \cos 2\alpha$
• Para $3(\cos 19\alpha + \cos 7\alpha) = 3 [ 2 \cos 13\alpha \cos 6\alpha ] = 6 \cos 13\alpha \cos 6\alpha$

Sustituyendo en $L$:
$$ L = 6 \cos 13\alpha [ 3 \cos 2\alpha + \cos 6\alpha ] $$

3. Uso de la identidad de ángulo triple:
Sabemos que $\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta$. Sea $\theta = 2\alpha$, entonces:
$$ \cos 6\alpha = 4 \cos^3 2\alpha - 3 \cos 2\alpha $$
Sustituimos esto en el paréntesis de $L$:
$$ \begin{aligned} L &= 6 \cos 13\alpha [ 3 \cos 2\alpha + (4 \cos^3 2\alpha - 3 \cos 2\alpha) ] \\ L &= 6 \cos 13\alpha [ 4 \cos^3 2\alpha ] \\ L &= 24 \cos^3 2\alpha \cos 13\alpha \end{aligned} $$

4. Conclusión:
El miembro izquierdo es igual al derecho.
$$ \boxed{9 \cos 15\alpha + 3 \cos 7\alpha + 3 \cos 19\alpha + 9 \cos 11\alpha = 24 \cos^3 2\alpha \cos 13\alpha} $$