1. Método: Utilizaremos la identidad del ángulo doble $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ de forma recursiva.

2. Desarrollo:
Multiplicamos y dividimos el miembro izquierdo por $2 \sin \alpha$:
$$ L = \frac{2 \sin \alpha \cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \cos 16\alpha}{2 \sin \alpha} $$
Como $2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha$:
$$ L = \frac{\sin 2\alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \cos 16\alpha}{2 \sin \alpha} $$
Multiplicamos por 2 arriba y abajo nuevamente:
$$ L = \frac{2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \cos 16\alpha}{4 \sin \alpha} = \frac{\sin 4\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \cos 16\alpha}{4 \sin \alpha} $$
Repitiendo el proceso para $\sin 4\alpha \cos 4\alpha$, luego para el 8 y el 16:

• $\dots = \frac{\sin 8\alpha \cos 8\alpha \cos 16\alpha}{8 \sin \alpha}$
• $\dots = \frac{\sin 16\alpha \cos 16\alpha}{16 \sin \alpha}$
• $\dots = \frac{2 \sin 16\alpha \cos 16\alpha}{32 \sin \alpha} = \frac{\sin 32\alpha}{32 \sin \alpha}$

3. Resultado:
$$ \boxed{\cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha \cos 8\alpha \cos 16\alpha = \frac{\sin 32\alpha}{32 \sin \alpha}} $$