1. Fórmulas de base:

• $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$
• $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$

2. Desarrollo del miembro derecho ($R$):
$$ R = \tan \alpha \cdot \left( \frac{\tan 60^\circ + \tan \alpha}{1 - \tan 60^\circ \tan \alpha} \right) \cdot \left( \frac{\tan 60^\circ - \tan \alpha}{1 + \tan 60^\circ \tan \alpha} \right) $$
Sustituyendo $\sqrt{3}$:
$$ \begin{aligned} R &= \tan \alpha \left( \frac{\sqrt{3} + \tan \alpha}{1 - \sqrt{3} \tan \alpha} \right) \left( \frac{\sqrt{3} - \tan \alpha}{1 + \sqrt{3} \tan \alpha} \right) \\ R &= \tan \alpha \left( \frac{(\sqrt{3})^2 - \tan^2 \alpha}{1^2 - (\sqrt{3} \tan \alpha)^2} \right) \\ R &= \tan \alpha \left( \frac{3 - \tan^2 \alpha}{1 - 3 \tan^2 \alpha} \right) = \frac{3 \tan \alpha - \tan^3 \alpha}{1 - 3 \tan^2 \alpha} \end{aligned} $$

3. Conclusión:
Sabemos por la identidad del ángulo triple que $\tan 3\alpha = \frac{3 \tan \alpha - \tan^3 \alpha}{1 - 3 \tan^2 \alpha}$.
Por lo tanto:
$$ \boxed{\tan 3\alpha = \tan \alpha \tan (60^\circ + \alpha) \tan (60^\circ - \alpha)} $$