1. Datos y análisis:
Se requiere demostrar la igualdad entre el miembro izquierdo ($L$) y el derecho ($R$). Observamos que aparecen ángulos de $\frac{\beta}{2}$ y $(45^\circ - \frac{\beta}{2})$.

2. Propiedades a utilizar:

• Identidad de la cotangente de una suma/resta: $\cot(A-B) = \frac{\cot A \cot B + 1}{\cot B - \cot A}$.
• Notar que si $A = 45^\circ$ y $B = \frac{\beta}{2}$, entonces $\cot 45^\circ = 1$.

3. Desarrollo:
Analicemos el miembro derecho ($R$):
$$ R = \cot \frac{\beta}{2} \cdot \cot \left( 45^\circ - \frac{\beta}{2} \right) $$
Usando la fórmula de resta para la cotangente:
$$ \cot \left( 45^\circ - \frac{\beta}{2} \right) = \frac{\cot 45^\circ \cot \frac{\beta}{2} + 1}{\cot \frac{\beta}{2} - \cot 45^\circ} = \frac{\cot \frac{\beta}{2} + 1}{\cot \frac{\beta}{2} - 1} $$
Sustituyendo en $R$:
$$ R = \cot \frac{\beta}{2} \left( \frac{\cot \frac{\beta}{2} + 1}{\cot \frac{\beta}{2} - 1} \right) = \frac{\cot^2 \frac{\beta}{2} + \cot \frac{\beta}{2}}{\cot \frac{\beta}{2} - 1} $$

Reescribiendo el miembro izquierdo ($L$):
$$ L = 1 + \cot \frac{\beta}{2} + \frac{\cot \frac{\beta}{2} + 1}{\cot \frac{\beta}{2} - 1} $$
Sumamos las fracciones:
$$ \begin{aligned} L &= \frac{(1 + \cot \frac{\beta}{2})(\cot \frac{\beta}{2} - 1) + (\cot \frac{\beta}{2} + 1)}{\cot \frac{\beta}{2} - 1} \\ L &= \frac{(\cot^2 \frac{\beta}{2} - 1) + \cot \frac{\beta}{2} + 1}{\cot \frac{\beta}{2} - 1} \\ L &= \frac{\cot^2 \frac{\beta}{2} + \cot \frac{\beta}{2}}{\cot \frac{\beta}{2} - 1} \end{aligned} $$
Como $L = R$, la identidad (corregida) queda demostrada.

$$ \boxed{L = R \implies 1 + \cot \frac{\beta}{2} + \cot \left( 45^\circ - \frac{\beta}{2} \right) = \cot \frac{\beta}{2} \cot \left( 45^\circ - \frac{\beta}{2} \right)} $$